Fourier

Joseph Fourier était un physicien et mathématicien français né à Auxerre le 21 mars 1768 et mort le 16 mai 1830 à Paris. Il est connu pour ses travaux sur la décomposition de signaux périodiques: un son complexe peut être décomposé en une succession de sons purs, ce que nous allons étudier maintenant.

1) Comment décomposer le son ?

Un signal période est composé d'un mélange de signaux sinusoïdaux. En effet, un signal est rarement pur et en conséquent l'onde n'est jamais parfaitement sinusoïdale (un tel son n'existe pas dans la nature, seul un appareil électronique peut en produire. Cependant, certains instruments tentent de s'en approcher, comme le diapason.)



son complexe

son pur











Cet ensemble de signaux sinusoïdaux correspond à un superposition d'harmoniques possédant des fréquences différentes. L'harmonique ayant la fréquence la plus basse est dite la fréquence fondamentale ou première harmonique audible. Les fréquences des harmoniques sont les multiples entiers de la fréquence fondamentale: F;2F;3F;4F,etc. Si les fréquences des harmoniques ne sont pas des multiples entiers de la fondamentale, le son est alors inharmonique.

décomposition spectrale d'une fonction carré

L'harmonique 1 correspond ici à deux fois la fréquence fondamentale de 440 Hz, soit 880 Hz.








Lorsqu'un instrument joue, la note entendue est l'harmonique qui a la plus grande intensité, soit la fondamentale. Lorsque deux instruments produisent la même note la fondamentale est la même, mais les harmoniques diffèrent; c'est ainsi que l'on obtient des timbres différents.

->Pour déterminer l'équation d'un son pur, on utilise l'équation « y=A × sin (ωt) » où «
l’onde et « ω=2πf » avec « f » la fréquence en Hz et « t » le temps. (l'axe des ordonnées correspond à l'amplitude et l'axe des abscisses au temps).

L’équation de l’onde ci-contre correspond donc à y= 250 × sin (2π50x) car sa fréquence est de 50Hz et son amplitude 250 mPa.






->Pour déterminer l’équation d’un son complexe comme le signal ci-dessous, il suffit d’additionner
l’équation de l’onde principale avec celles des harmoniques.



Dans ce cas, le son est composé d'une fondamentale et de deux harmoniques:

• L’onde verte est la fréquence fondamentale de 440Hz et son amplitude est de 400 mPa ; c’est ainsi que obtient son équation qui est : y=400 × sin (2π440x)
•  L’onde rouge est une harmonique de 880Hz et d’amplitude 150 mPa : son équation est y=150 × sin (2π880x)
• L’onde bleu est une harmonique de 1320Hz et d’amplitude 50 mPa : son équation est y=50 × sin (2π1320x)

L’équation finale de cette onde est donc : y=400 × sin (2π440x)+150 × sin (2π880x)+50 × sin (2π1320x)

Il existe signaux particuliers comme :

•  Le signal en dents de scie qui est un signal composé d’une fondamentale accompagnée d’une infinité de fréquences harmoniques dont l’amplitude est décroissante :

• Le signal carré qui est composé d'une fondamentale accompagnée d'une infinité de fréquences harmoniques impaires:





2) Expérience

 

Nous vous communiquerons les résultats de cette expérience lors de notre oral, ainsi que son explication et la conclusion.